Пока ещё не разрешён безвизовый въезд граждан РФ в Республику Корея, вы можете выехать за пределы транзитной зоны, только если у вас есть корейская виза, или страна, куда вы летите, входит в список стран, имея визу в которую вам разрешено посетить и Корею (например, Япония).  Из аэропорта до Сеула добираться около 45 минут, добавьте к этому временные потери на переходы между терминалами, время на чашку кофе или посещение туалета, и у вас останется не так уж много времени. Для транзитников, которым разрешён выход за пределы транзитной зоны, организуются экскурсии, информацию о которых можно получить на сайте Корейской туристической организации http://www.visitkorea.or.kr/enu/SI/SI_EN_3_5_1.jsp. Может быть, вам что-нибудь подойдёт. Если говорить о посещение г. Инчхона, то там, конечно, тоже есть, что посмотреть, но его достопримечательности расположены не компактно, поэтому полного представления о городе вы за это время не получите. К тому же, аэропорт Инчхон - это почти город, в котором есть всё, чтобы время пролетело незаметно и неутомительно: магазины, кафе, рестораны.

Очень многие турфирмы в Москве и Санкт-Петербурге организуют шоп-туры в Корею. есть такие турфирмы и в Челябинске. Если их предложения вас не устраивают, можно связаться с турфирмами из Москвы. Стоимость шоп-тура обычно гораздо меньше, чем экскурсионного, и составляет примерно 11-16 тыс. рублей при двухместном размешении в отеле или мотеле (без учёта стоимости авиабилета). Обычно турфирмы организуют трансфёр, экскурсии на фабрики и помощь переводчика при совершении покупок.

Это зависит от конкретного учебного заведения и конкурса, вам нужно узнавать требования к поступающим на сайте интересующего вас вуза. 

Мы уже много раз писали об этом: стоимость обучения зависит от выбранного вами учебного заведения. Чтобы вы оценили порядок величины, можем повторить, что за семестр на гуманитарных факультетах обычно  платят от $2000 до $4000, на медицинских - от $4500 до $7000, а на технических - где-то посредине между гуманитарными и медицинскими.  Но повторяем, это величины приблизительные, вам нужно заходить на сайты университетов и узнавать подробности там.

На сайте Университета Dankook не указывается, где именно иностранный абитуриент должен изучать корейский. Университет выдвигает для иностранных абитуриентов одно требование (при условии, что вы не поступаете на факультет Международного образования) - уровень знаний корейского должен соответствовать уровню 3 (level 3) TOPIK (официальный тест на знание корейского языка, который проводится в Корее 4 раза в год, а в других странах - 2 раза в год - в апреле и сентябре). При поступлении на факультет Международного образования требования иные - TOEFL  и  SAT.

Очевидно, вас интересуют учебные программы по обмену студентами. Такие программы в медицинских вузах Санкт-Петербурга (Первом медицинском университете им. академика Павлова, Северо-западном медицинском университете им. Мечникова, Военно-медицинской академии им. Кирова) есть, но вузы Южной Кореи на данный момент не входят в число партнеров питерских медицинских вузов.