По нашим оценкам 60 тыс. рублей будет недостаточно. Авиаперелёт будет стоить вам не меньше 30 тыс. рублей (при раннем бронировании, если предположить, что вы летите из Москвы в Сеул), проживание в гостинице обойдётся минимум в 14 тыс .(7дней) или в 20 тыс.(10 дней) на двоих (т.е. соответственно 7-10 тыс. рублей на одного). Цены на продукты и услуги в Корее сравнимы с московскими, поэтому на еду нужно оставить хотя бы тысячу рублей в день. Остаётся что-то около 10 тысяч рублей, а ведь нужно ещё оставить деньги на городской транспорт, может быть, экскурсии, сувениры да и просто на непредвиденный случай. Впрочем, это предварительная оценка,  возможно, мы что-то упустили, и  вы рассчитаете ваш бюджет точнее.

Теперь о совершеннолетии корейцев. Жители Южной Кореии получают паспорт в 16 лет, а совершеннолетними считаются в 20 лет.

Поскольку у вас нет в Корее родственников, мы думаем, что с поездкой в Корею стоит повременить и окончить школу на родине, а за высшим образованием приехать в Корею.  За это время вы улучшите знание корейского языка и продумаете, чем вы, собственно, собираетесь в Корее заниматься, ведь для того, чтобы постоянно жить в этой стране, вам необходимы виза и вид на жительство, которые даются в соответствии с законами Кореи, а также найти необходимую информацию на сайтах корейских вузов.

Во-первых, непонятно, хотите вы снять квартиру или купить? Все квартиры разные, стоимость зависит не только от метража, но и от местоположения, меблировки, охраны и др. бонусов. Заходите на сайты, занимающиеся продажей и арендой недвижимости, там вы сможете оценить стоимость аренды или покупки подходящей для вас квартиры в Сеуле.  Что касается квартиры в 20 кв.м общей площадью - это что-то нереально маленькое, квартира - студия, мы нашли на одном из корейских сайтов квартиру-студию в Сеуле, которая стоила 18 тыс. рублей в месяц, есть, конечно, и дороже, а вот дешевле мы не видели (это без оплаты коммунальных услуг). 

Если вы - гражданка России, то вы имеете право на безвизовый въезд в Республику Корея сроком на 60 дней (единовременно, без права на работу и учёбу), и приглашение не нужно вообще. Если вы - не гражданка России, то ваша подруга имеет право прислать вам приглашение. Срок действия вашего загранпаспорта должен истекать не ранее, чем за 3 месяца до окончания вашей поездки. 

Поскольку родственников в Корее у вас нет, единственный способ для вас - участие в двустронней образовательной программе. Поездка с целью получения образования несовершеннолетнего за границу в рамках образовательных программ всегда предусматривает наличие взрослого сопровождающего - организатора, преподавателя и т.п.

Да, можно. Вам нужно обратиться на сайты частных гидов по Корее, просто сделайте запрос на русском, и вы получите информацию с телефонами и эл. адресами. (Мы не хотим никого рекламировать, поэтому ссылки не даём).